https://reshu.su/algebra/ Recent content in Алгебра on reshu.su Hugo -- gohugo.io https://reshu.su/algebra/01/ Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000 https://reshu.su/algebra/01/ Числовые и алгебраические выражения Тема урока: § 1. Числовые и алгебраические выражения. Работа с числовыми и алгебраическими выражениями позволяет строить математические модели разнообразных ситуаций, представлять сложные смысловые предложения в более удобной форме. Числовые выражения Определение: Числовое выражение — это запись составленная из чисел и знаков арифметических действий, которая имеет смысл. Примеры числовых выражений \[ \small\tag{\textcolor{#3eb489}{1}} 43:5\] \[ \small\tag{\textcolor{#ed5fa6}{2}} 1+0\] \[ \small\tag{\textcolor{#3eb489}{3}} 72\] \[ \small\tag{\textcolor{#ed5fa6}{4}} 2^4-2^3+2^5-2\] \[ \small\tag{\textcolor{#3eb489}{5}} \small 12,8-\frac{2}{11}\cdot (2,18+3,32)\] Каждое из них составлено из чисел и знаков действий. https://reshu.su/algebra/02/ Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000 https://reshu.su/algebra/02/ Математический язык и математическая модель Тема урока: § 2. Математический язык. Математический язык - система символов для описания абстрактных математических идей, делающая запись удобной для человека. Примеры Все мы знаем из школьного курса математики, про коммутативный закон. А именно: от перестановки мест слагаемых сумма не меняется. Но в математическом языке это записывается гораздо проще и короче. Коммутативность сложения: \[\tag{\textcolor{#3eb489}{1}} a+b=b+a\] А в общем виде запись имеет такой вид: \[\tag{\textcolor{#ed5fa6}{2}} a\circ b=b\circ a\] Т. https://reshu.su/algebra/03/ Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000 https://reshu.su/algebra/03/ Высказывания и неравенства Тема урока: § 3. Высказывания и неравенства. Предложение “Медведь — животное” является истинным высказыванием, а предложение “Озеро Байкал находится в Африке” — ложным. Предложения “ \(\footnotesize53\) ” и “ \(\footnotesize2\cdot2=5\) ” тоже высказывания, причем первое из них истинно, а второе ложно. Сравним два числовых выражения: \[ \small\tag{\textcolor{#3eb489}{1}} 31-2,5\cdot8\] \[ \small\tag{\textcolor{#ed5fa6}{2}} 4\frac{1}{8}+2\frac{7}{8}\] Значение первого выражения — число \(\footnotesize \textcolor{#3eb489}{11},\) а второго — \(\footnotesize \textcolor{#ed5fa6}{7}. https://reshu.su/algebra/04/ Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000 https://reshu.su/algebra/04/ Тождество Тема урока: § 4. Тождество. Тождественные выражения Сравним значения выражений \( 2x+3x^{2}\) и \( 5x^{3}\) при некоторых значениях переменной \( x.\) При \( x=2\) значение первого выражения \( 16,\) а второго \( 40.\) Числа \( 16\) и \( 40\) — соответственные значения выражений: \( 2x+3x^{2}\) и \( 5x^{3}.\) Некоторые пары соответственных значений этих выражений показаны в таблице: $$\textcolor{#ed5fa6}{x}$$ $$-0,4$$ $$-0,1$$ $$ \ \ 0 \ \ $$ $$0,1$$ $$ \ \ 1 \ \ $$ $$2x+3x^{2}$$ $$-0,32$$ $$-0,17$$ $$0$$ $$0,23$$ $$5$$ $$5x^{3}$$ $$-0,32$$ $$-0,005$$ $$0$$ $$0,005$$ $$5$$ Легко заметить, что не при всех значениях переменной \( x\) значения выражений \( 2x+3x^{2}\) и \( 5x^{3}\) равны, а значит нельзя сказать, что выражения тождественно равны. https://reshu.su/algebra/05/ Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000 https://reshu.su/algebra/05/ Линейное уравнение с одной переменной Тема урока: § 5. Линейное уравнение с одной переменной. Навык решения линейных уравнений проверяется на экзаменах ОГЭ и ЕГЭ и необходим для решения текстовых задач. Существуют ли такие значения переменной $x$, при которых соответственные значения выражений $3x$ и $x+8$ равны? Чтобы ответить на этот вопрос, надо решить уравнение: $$3x=x+8$$ При $x$, равном $4$, значения левой и правой частей уравнения равны. Число $4$ называют решением или корнем данного уравнения. https://reshu.su/algebra/06/ Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000 https://reshu.su/algebra/06/ Решение задач с помощью уравнений Тема урока: § 6. Решение задач с помощью уравнений. Приведены все необходимые и достаточные сведения для решения текстовых задач с помощью составления уравнений. Введение В школьной математике есть целый кладезь текстовых задач, которые решаются универсальным методом построения уравнения (модели) исходя из условия. Сам факт того, что огромное количество самых разнообразных задач поддаются решению с помощью составления линейного уравнения, говорит нам, что метод решений является действительно универсальным. https://reshu.su/algebra/07/ Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000 https://reshu.su/algebra/07/ Степень с натуральным показателем § 7. Тема урока: Степень с натуральным показателем. Определение степени с натуральным показателем. Произведение нескольких натуральных множителей можно записать в виде степени. Например, \[\small 6\cdot 6\cdot 6\cdot 6\cdot 6\cdot 6\cdot 6\cdot 6=6^{8}\] Выражение \(6^{8}\) читают по-разному: “Шесть в восьмой степени”, “Восьмая степень числа шесть”, “Степень числа шесть с показателем восемь”. Степени с показателями \(2\) и \(3\) можно прочесть по-другому: запись \(a^{2}\) читается: “\(a\) в квадрате”, а запись \(b^{3}\) — “\(b\) в кубе”. https://reshu.su/algebra/08/ Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000 https://reshu.su/algebra/08/ Одночлен. Стандартный вид одночлена § 8. Тема урока: Одночлен и стандартный вид одночлена. Понятие одночлена Рассмотрим выражения: \[\def\arraystretch{2} \begin{array}{c:c:c} -2 & \frac{3}{5} & a \\ \hline (-x)^{2} & -3\cdot8 & -b \\ \hdashline 2abbb & 8a^{3}b^{7}c & (a^{2})^{3} \end{array}\] Среди них содержатся: числа, переменные, выражения, противоположные переменным (т.е. с противоположным знаком), а также степени чисел и переменных и их произведения. Такие выражения называют одночленами. Любая сумма, разность, частное — не является одночленом. https://reshu.su/algebra/09/ Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000 https://reshu.su/algebra/09/ Многочлен. Стандартный вид многочлена § 9. Тема урока: Многочлен и его стандартный вид. Понятие многочлена Из одночленов \( 2x^{3}, \ -6xy\cdot 2y, \ 7x \) и \( -3y \) можно составить различные выражения. Вот некоторые из них: \[\tag{\textcolor{#228B22}{1}} \footnotesize(2x^{3}-6xy\cdot 2y)(7x-3y)\] \[\tag{\textcolor{#ed5fa6}{2}} \footnotesize\frac{2x^{3}-6xy\cdot 2y-3y}{7x}\] \[\tag{\textcolor{#228B22}{3}} \footnotesize2x^{3}-6xy\cdot 2y+7x-3y.\] Первое выражение есть произведение, второе — частное, а третье — сумма. В этой сумме каждое слагаемое — одночлен. Определение: https://reshu.su/algebra/10/ Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000 https://reshu.su/algebra/10/ Сложение и вычитание многочленов § 10. Тема урока: Преобразование суммы и разности многочленов в многочлен стандартного вида. Раскрытие скобок Выражения в таблице \[\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c} \small(5a^{2}b-8ab+b^{2})+(3b^{3}-4ab) \\ \hline 2p^{3}-(8p-3) \\ \hline xy(x-5y+3) \\ \hline (m+n)(m^{2}-mn+n^{2}) \\ \hline \end{array}\] представляют собой сумму, разность и произведение многочленов (или одночленов и многочленов). Такие выражения называют целыми алгебраическими выражениями. Многочлен тоже целое выражение. Основная задача тождественных преобразований целых выражений состоит в приведении целого выражения к многочлену стандартного вида. https://reshu.su/algebra/11/ Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000 https://reshu.su/algebra/11/ Произведение одночлена и многочлена § 11. Тема урока: Произведение одночлена и многочлена. Вынесение общего множителя за скобки. Преобразование произведения одночлена и многочлена в многочлен стандартного вида Распределительный закон умножения позволяет произведение одночлена и многочлена представить в виде многочлена. Например, \[\begin{alignedat}{2} \small 9n^{2}p\cdot (7n^{2}+p^{2}-3pn)= \\ \small 9n^{2}p\cdot 7n^{2}+9n^{2}p\cdot p^{2}+ \\ \small 9n^{2}p\cdot (-3pn)= \\ \small 63n^{4}p+9n^{2}p^{3}-27n^{3}p^{2}. \end{alignedat}\] Определение: Произведение одночлена и многочлена равно сумме произведений этого одночлена и каждого члена многочлена. https://reshu.su/algebra/12/ Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000 https://reshu.su/algebra/12/ Доказательство тождественности выражений § 12. Тема урока: Доказательство тождеств. Пусть надо доказать, что выражения \[\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c:c:c} 4a(21-7b) & & \\ \hline & и & \\ \hdashline & & -28a(b-3) \end{array}\] тождественно равны. Эту задачу иногда формулируют иначе: Доказать тождество \( 4a(21-7b)=-28a(b-3). \) Задачи такого типа решаются с помощью тождественных преобразований. Ранее мы уже рассматривали доказательства тождеств в § 4, но сейчас мы добьём эту тему. Доказать, что равенство \( 4a(21-7b)=-28a(b-3) \) является тождеством, можно различными способами. https://reshu.su/algebra/13/ Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000 https://reshu.su/algebra/13/ Умножение многочлена на многочлен § 13. Тема урока: Произведение многочленов. Подстановка Из одного тождества можно получить сколько угодно других тождеств, если всюду в тождестве какую-нибудь переменную заменить одним и тем же выражением. Пример. В тождестве \( 3x(x-5a)=3x^{2}-15ax \) переменная \( x \) встречается \( 4 \) раза. Заменим всюду эту переменную каким-либо выражением, например \( -7p: \) \[ \small\tag{\textcolor{#ed5fa6}{1}} 3\cdot(-7p)\cdot (-7p-5a)=\] \[\small 3(-7p)^{2}-15a(-7p). \] Полученное равенство тоже является тождеством. https://reshu.su/algebra/14/ Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000 https://reshu.su/algebra/14/ Разложение многочленов на множители § 14. Тема урока: Разложение многочленов на множители и вынесение общего множителя за скобки. В алгебре одним из важнейших понятий является понятие многочлена. Многочленом называется выражение вида: \[a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0\] https://reshu.su/algebra/15/ Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000 https://reshu.su/algebra/15/ Формулы сокращенного умножения § 15. Тема урока: Формулы сокращенного умножения. Формулы сокращенного умножения - это набор формул, которые облегчают процесс выполнения операций умножения алгебраических выражений. Они широко применяются в алгебре и основаны на разложении выражений на основные элементы. В 7 классе особенно актуальны следующие формулы: Квадрат суммы: \[(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\] Данная формула показывает, что квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс два раза произведение первого и второго числа плюс квадрат второго числа.