reshu.su

Числові та алгебраїчні вирази

Тема уроку: § 1. Числові та алгебраїчні вирази. Робота з числовими і алгебраїчними виразами дозволяє будувати математичні моделі різноманітних ситуацій, представляти складні смислові пропозиції в більш зручній формі.

Числовий вираз

Визначення: Числовий вираз - це запис складена з чисел і знаків арифметичних дій, яка має сенс.

Приклади числових виразів

$$\tag{\textcolor{#228B22}{1}} 43:5$$ $$\tag{\textcolor{#ed5fa6}{2}} 1+0$$ $$\tag{\textcolor{#228B22}{3}} 72$$ $$\tag{\textcolor{#ed5fa6}{4}} 2^4-2^3+2^5-2$$ $$\tag{\textcolor{#228B22}{5}} \small 12,8-\frac{2}{11}\cdot (2,18+3,32)$$

Кожне з них складено з чисел і знаків дій. Якщо дотримуючись прийнятий порядок, виконати зазначені дії, то вийде число. Це число називають числовим значенням виразу або, коротше, значенням виразу.
наприклад, \(\footnotesize 2^4-2^3+2^2-2=10\) число \(\footnotesize 10\) — значення даного виразу.

Вираз може складатися і з одного числа. У цьому випадку значення виразу є саме число.

Вираз \( \frac{35}{\textcolor{#228b22}{48: 6}-\textcolor{#ed5fa6}{8}}\) не має числового значення, так як не всі зазначені дії можна виконати (поділ на нуль неможливо!). Про таких виразах говорять, що вони не мають сенсу.

Таким чином, числовий вираз може або мати одне значення, або не мати значення.

Алгебраїчні вирази

Визначення: Алгебраїчний вираз - це числовий вираз містить буквену частину і має сенс.

Приклади алгебраїчних виразів

1. Вирази з однією змінною.

Розглянемо якийсь вираз з однією змінною, наприклад: \(\footnotesize \textcolor{#ed5fa6}{a} (\textcolor{#ed5fa6}{a}+1).\) При \(\footnotesize \textcolor{#ed5fa6}{a}=\textcolor{#228b22}{2}\) його значення дорівнює \(\footnotesize 6,\) так як \(\footnotesize \textcolor{#228b22}{2}\cdot (\textcolor{#228b22}{2}+1)=6.\) При \( \footnotesize a=8 \) значення цього виразу дорівнює \( \footnotesize 72, \) при \( \footnotesize a=-1 \) — нулю, при \(\footnotesize a=0 \) теж нулю.

Якщо значення змінної \(\footnotesize a\) утворюють множину \(\footnotesize A=\begin{Bmatrix} 2; 8; -1; 0 \end{Bmatrix},\) то значення виразу \(\footnotesize a(a+1)\) складуть множину \(\footnotesize B=\begin{bmatrix} 6; 72; 0 \end{bmatrix}.\)

Якщо безліч значень змінної, що входить у вираз, не вказано, то вважається, що змінна приймає всі ті значення, при яких вираз має сенс. Наприклад, якщо нічого не сказано про множину значень змінної \(\footnotesize p\) у виразі \(\footnotesize \frac{p}{2p-6},\) то мається на увазі, що змінна \(\footnotesize p\) приймає будь-які числові значення, крім \(\footnotesize 3.\)

2. Вирази з декількома змінними.

Значення виразу \(\footnotesize (x-2y)^2\) залежить від значень змінних \(\footnotesize x\) і \(\footnotesize y.\) Нехай змінна \(\footnotesize x\) приймає значення з множини \(\footnotesize X=\begin{Bmatrix} 1; 5 \end{Bmatrix}\) , а змінна \(\footnotesize y\) — з множини \(\footnotesize Y=\begin{Bmatrix} 1; 2; 5 \end{Bmatrix}\)

\( (x-2y)^2 = \begin{cases} 81 \leftarrow \textcolor{gray}{якщо \ x=1, y=5,} \\ 9 \leftarrow \textcolor{gray}{якщо \ x=5, y=1;} \end{cases} \)

Кожній парі значень змінних \(\footnotesize x \) і \( \footnotesize y \) відповідає певне значення виразу \( \footnotesize (x-2y)^2\) причому єдине. Складемо всілякі пари значень \(\footnotesize x \) і \(\footnotesize y \) і для кожної з них знайдемо відповідне значення виразу:

\[\ \ \ \ x \ \ \ \] \[\ \ \ \ y \ \ \ \] \[(x-2y)^2\]
\[\textcolor{#228B22}{1}\] \[\textcolor{#ed5fa6}{1}\] \[=(\textcolor{#228B22}{1}-2\cdot\textcolor{#ed5fa6}{1})^2=1\]
\[\textcolor{#228B22}{1}\] \[\textcolor{#ed5fa6}{2}\] \[=(\textcolor{#228B22}{1}-2\cdot\textcolor{#ed5fa6}{2})^2=9\]
\[\textcolor{#228B22}{1}\] \[\textcolor{#ed5fa6}{5}\] \[=(\textcolor{#228B22}{1}-2\cdot\textcolor{#ed5fa6}{5})^2=81\]
\[\textcolor{#228B22}{5}\] \[\textcolor{#ed5fa6}{1}\] \[=(\textcolor{#228B22}{5}-2\cdot\textcolor{#ed5fa6}{1})^2=9\]
\[\textcolor{#228B22}{5}\] \[\textcolor{#ed5fa6}{2}\] \[=(\textcolor{#228B22}{5}-2\cdot\textcolor{#ed5fa6}{2})^2=1\]
\[\textcolor{#228B22}{5}\] \[\textcolor{#ed5fa6}{5}\] \[=(\textcolor{#228B22}{5}-2\cdot\textcolor{#ed5fa6}{5})^2=25\]

Значення виразу \(\footnotesize (x-2y)^2\) утворюють множину \(\footnotesize \begin{Bmatrix} 1; 9; 81; 25 \end{Bmatrix}.\)

Якщо у виразі з двома змінними безлічі їх значень не вказані, то вважають, що змінні приймають будь-які значення, при яких даний вираз має сенс.

Наприклад, якщо нічого не сказано про множини значень змінних \(\small \textcolor{#228b22}{x}\) і \(\small \textcolor{#ed5fa6}{y}\) у виразі \( \frac{5}{\textcolor{#228b22}{x}-\textcolor{#ed5fa6}{y}},\) то вважається, що змінні \(\small \textcolor{#228B22}{x}\) і \(\small \textcolor{#ed5fa6}{y}\) приймають будь-які не рівні між собою значення.

Завдання для самостійного вирішення

Задача №1.

Обчисліть значення числового виразу: $$14\frac{7}{15}-3\frac{3}{23}\cdot\frac{23}{27}-1\frac{1}{5} \cdot\frac{1}{6}$$

$$14\frac{7}{15}-3\frac{3}{23}\cdot\frac{23}{27}-1\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{6}$$

Шаг 1. Переведемо Всі змішані дроби в неправильні (для цього цілу частину дробу потрібно помножити на знаменник нецільової частини і скласти це з чисельником нецілої частини, отриманий результат поділити на знаменник нецільової частини).

$$\small \frac{14\cdot15+7}{15}-\frac{3\cdot23+3}{23}\cdot\frac{23}{27}-\frac{1\cdot5+1}{5}\cdot\frac{1}{6}$$

Шаг 2. Виконаємо елементарні перетворення (дії).

$$\frac{217}{15}-\frac{72}{23}\cdot\frac{23}{27}-\frac{6}{5}\cdot\frac{1}{6}$$

Шаг 3. Скоротимо числа:

$$\frac{217}{15}-\frac{8}{1}\cdot\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{1}$$

$$\frac{217}{15}-\frac{8}{3}-\frac{1}{5}$$

Шаг 4. Приведемо до спільного знаменника.

$$\frac{217}{15}-\frac{8}{3}\cdot\frac{5}{5}-\frac{1}{5}\cdot\frac{3}{3}$$

$$\frac{217}{15}-\frac{40}{15}-\frac{3}{15}$$

$$\frac{217-40-3}{15}$$

$$\frac{174}{15}$$

Шаг 5. Виконаємо поділ і запишемо відповідь.

$$\frac{174}{15}=11\frac{3}{5}=11,6$$

Відповідь: 11,6.

Задача №2.

Обчисліть значення числового виразу: $$(5\frac{8}{9}: 1\frac{17}{36}+1\frac{1}{4})\cdot\frac{5}{21}$$

$$(5\frac{8}{9}:1\frac{17}{36}+1\frac{1}{4})\cdot\frac{5}{21}$$

Шаг 1. Виконаємо дії в дужках. За ступенем важливості виконаємо поділ, а потім додавання.

а) змішані дроби переводимо в неправильні:

$$5\frac{8}{9}:1\frac{17}{36}=\frac{5\cdot9+8}{9}:\frac{1\cdot36+17}{36}$$

$$\frac{53}{9}\cdot\frac{36}{53}=4$$

б) виконаємо додавання:

$$4+1\frac{1}{4}=\frac{4}{1}+\frac{1\cdot4+1}{4}$$

$$\frac{16}{4}+\frac{5}{4}=\frac{21}{4}=5,25$$

Шаг 2. Виконаємо множення.

$$\frac{21}{4}\cdot\frac{5}{21}=\frac{5}{4}$$

$$\frac{5}{4}=1,25$$

Відповідь: 1,25.

Задача №3.

Обчисліть значення виразу при заданих змінних: $$0,4 y + 1= \ ?$$ $$y=-0,5; 8; -10.$$

$$0,4y+1= \ ?$$

$$y=-0,5; 8; -10.$$

Шаг 1. Обчислимо значення виразу при першому значенні змінної.

$$0,4\cdot(-0,5)+1=-0,2+1=0,8$$

Шаг 2. Обчислимо друге значення виразу.

$$0,4\cdot8+1=3,2+1=4,2$$

Шаг 3. Підставимо замість змінної залишився значення.

$$0,4\cdot(-10)+1=-4+1=-3$$

Відповідь: 0,8; 4,2; -3.

Задача №4.

Обчисліть значення виразу, якщо відомі значення змінних: $$\frac{2}{7}c-0,2 d= \ ?$$ $$c=-28; d=15$$

Знайти: $$\frac{2}{7}c-0,2 d= \ ? \ c=-28; d=15$$

Шаг 1. Підставимо замість змінних їх значення.

$$\frac{2}{7}c-0,2d=\frac{2}{7}\cdot(-28)-0,2\cdot15$$

Шаг 2. Виконаємо дії.

$$\frac{2}{7}\cdot(-28)=2\cdot(-4)=-8$$

$$-0,2\cdot15=-3$$

$$-8-3=-11$$

Відповідь: -11.

Задача №5.

Знайти значення алгебраїчного виразу: $$(n-m)k= \ ?$$ $$2m-2n+3k= \ ?$$ $$m-n=5, k=-2.$$

Знайти: $$(n-m)k= \ ?$$ $$2m-2n+3k= \ ?$$ $$m-n=5, k=-2.$$

Шаг 1. Знайдемо значення першого виразу:

$$(n-m)k=-(m-n)k$$

$$-(m-n)k=-5\cdot(-2)=10$$

Шаг 2. Знайдемо значення другого виразу:

$$2(m-n)+3k=2\cdot5+3\cdot(-2)$$

$$2\cdot5+3\cdot(-2)=10-6=4$$

Відповідь: 10; 4.

Наступна тема