Числовые и алгебраические выражения

Тема урока: § 1. Числовые и алгебраические выражения. Работа с числовыми и алгебраическими выражениями позволяет строить математические модели разнообразных ситуаций, представлять сложные смысловые предложения в более удобной форме.

Числовые выражения

Определение:
Числовое выражение — это запись составленная из чисел и знаков арифметических действий, которая имеет смысл.

Примеры числовых выражений

\[ \small\tag{\textcolor{#3eb489}{1}} 43:5\] \[ \small\tag{\textcolor{#ed5fa6}{2}} 1+0\] \[ \small\tag{\textcolor{#3eb489}{3}} 72\] \[ \small\tag{\textcolor{#ed5fa6}{4}} 2^4-2^3+2^5-2\] \[ \small\tag{\textcolor{#3eb489}{5}} \small 12,8-\frac{2}{11}\cdot (2,18+3,32)\]

Каждое из них составлено из чисел и знаков действий. Если соблюдая принятый порядок, выполнить указанные действия, то получится число. Это число называют числовым значением выражения или, короче, значением выражения.
Например, \(\footnotesize 2^4-2^3+2^2-2=10\) число \(\footnotesize 10\) — значение данного выражения.

Выражение может состоять и из одного числа. В этом случае значение выражения есть само число.

Выражение \(\frac{35}{\textcolor{#3eb489}{48:6}-\textcolor{#ed5fa6}{8}}\) не имеет числового значения, так как не все указанные действия можно выполнить (деление на нуль невозможно!). О таких выражениях говорят, что они не имеют смысла.

Таким образом, числовое выражение может или иметь одно значение, или не иметь значения.

Алгебраические выражения

Определение:
Алгебраическое выражение — это числовое выражение содержащее буквенную часть и имеющее смысл.

Примеры алгебраических выражений

1. Выражения с одной переменной.

Рассмотрим какое-нибудь выражение с одной переменной, например: \(\footnotesize \textcolor{#ed5fa6}{a}(\textcolor{#ed5fa6}{a}+1).\) При \(\footnotesize \textcolor{#ed5fa6}{a}=\textcolor{#3eb489}{2}\) его значение равно \(\footnotesize 6,\) так как \(\footnotesize \textcolor{#3eb489}{2}\cdot (\textcolor{#3eb489}{2}+1)=6.\) При \(\footnotesize a=8\) значение этого выражения равно \(\footnotesize 72,\) при \(\footnotesize a=-1\) — нулю, при \(\footnotesize a=0\) тоже нулю.

Если значения переменной \(\footnotesize a\) образуют множество \(\footnotesize A=\begin{Bmatrix} 2; 8; -1; 0 \end{Bmatrix},\) то значения выражения \(\footnotesize a(a+1)\) составят множество \(\footnotesize B=\begin{Bmatrix} 6; 72; 0 \end{Bmatrix}.\)

Если множество значений переменной, входящей в выражение, не указано, то считается, что переменная принимает все те значения, при которых выражение имеет смысл. Например, если ничего не сказано о множестве значений переменной \(\footnotesize p\) в выражении \(\footnotesize \frac{p}{2p-6},\) то имеется в виду, что переменная \(\footnotesize p\) принимает любые числовые значения, кроме \(\footnotesize 3.\)

2. Выражения с несколькими переменными.

Значение выражения \(\footnotesize (x-2y)^2\) зависит от значений переменных \(\footnotesize x\) и \(\footnotesize y.\) Пусть переменная \(\footnotesize x\) принимает значения из множества \(\footnotesize X=\begin{Bmatrix} 1; 5 \end{Bmatrix}\) , а переменная \(\footnotesize y\) — из множества \(\footnotesize Y=\begin{Bmatrix} 1; 2; 5 \end{Bmatrix}\)

Каждой паре значений переменных \(\footnotesize x\) и \(\footnotesize y\) соответствует определенное значение выражения \(\footnotesize (x-2y)^2\) причем единственное. Составим всевозможные пары значений \(\footnotesize x\) и \(\footnotesize y\) и для каждой из них найдем соответствующее значение выражения:

Значения выражения \(\footnotesize (x-2y)^2\) образуют множество \(\footnotesize \begin{Bmatrix} 1; 9; 81; 25 \end{Bmatrix}.\)

Если в выражении с двумя переменными множества их значений не указаны, то считают, что переменные принимают любые значения, при которых данное выражение имеет смысл.

Например, если ничего не сказано о множествах значений переменных \(\small \textcolor{#3eb489}{x}\) и \(\small \textcolor{#ed5fa6}{y}\) в выражении \( \frac{5}{\textcolor{#3eb489}{x}-\textcolor{#ed5fa6}{y}},\) то считается, что переменные \(\small \textcolor{#3eb489}{x}\) и \(\small \textcolor{#ed5fa6}{y}\) принимают любые не равные между собой значения.

Задачи для самостоятельного решения