Тождество

Тема урока: § 4. Тождество.

Тождественные выражения

Сравним значения выражений \( 2x+3x^{2}\) и \( 5x^{3}\) при некоторых значениях переменной \( x.\) При \( x=2\) значение первого выражения \( 16,\) а второго \( 40.\) Числа \( 16\) и \( 40\) — соответственные значения выражений: \( 2x+3x^{2}\) и \( 5x^{3}.\) Некоторые пары соответственных значений этих выражений показаны в таблице:

Легко заметить, что не при всех значениях переменной \( x\) значения выражений \( 2x+3x^{2}\) и \( 5x^{3}\) равны, а значит нельзя сказать, что выражения тождественно равны.

Что такое тождество?

Выражения \( x+5\) и \( 5+x\) тождественно равны, поэтому равенство \( x+5=5+x\) верно при любых значениях \( x.\) Такое равенство называют тождеством.

Определение:
Тождеством называется такое равенство двух выражений, которое верно при любых значениях переменных.

Примеры тождеств

$$\tag{\textcolor{#3eb489}{1}} 7(6+k)=42+7k$$ $$\tag{\textcolor{#ed5fa6}{2}} mn=nm$$ $$\tag{\textcolor{#3eb489}{3}} a+(b+2k)=(a+b)+2k$$ $$\tag{\textcolor{#ed5fa6}{4}} (a-b)^{2}=(b-a)^{2}$$

Верное числовое равенство также называют тождеством.

Тождественные преобразования выражений

Рассмотрим выражения \( x(y+7)\) и \( xy+7x.\) Вычислим их значения при \( x=9\) и \( y=-2\)

$$\tag{\textcolor{#3eb489}{1}} x(y+7)=9\cdot(-2+7)=45$$

$$xy+7x=9\cdot(-2)\tag{\textcolor{#3eb489}{2}}+7\cdot9=45$$

Мы видим что при \( x=9\) и \( y=-2\) соответственные значения выражений \( x(y+7)\) и \( xy+7x\) равны. Из распределительного и переместительного свойств умножения следует, что соответственные значения этих выражений равны при любых значениях переменных. О таких выражениях говорят, что они тождественно равны.

При решении уравнений, вычислении значений выражений и ряде других случаев одни выражения заменяют другими, тождественно равными им. Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением, называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения.

Тождественные преобразования выражений с переменными выполняются на основе свойств действий над числами. Мы уже встречались с тождественными преобразованиями выражений. К ним относятся, например, приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок.

Пример 1. Приведем подобные слагаемые в сумме \(5x+2x-3x.\)

Чтобы привести подобные слагаемые, надо, как известно, сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть.

Имеем: $$5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x$$ Выполненное преобразование основано на распределительном свойстве умножения.

Пример 2. Раскроем скобки выражения \(2a+(b-3c).\)

Воспользуемся правилом раскрытия скобок, перед которыми стоит знак “плюс”: если перед скобками стоит знак “плюс”, то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки.

Получим: $$2a+(b-3c)=2a+b-3c$$ Проведенное преобразование основано на сочетательном свойстве сложения.

Пример 3. Раскроем скобки в выражении \(a-(4b-c).\)

Применим правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак “минус”: если перед скобками стоит знак “минус”, то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки.

Получим: $$a-(4b-c)=a-4b+c$$

Выполненное преобразование также основано на свойствах действий над числами. Действительно, представим данное выражение в виде суммы: $$a-(4b-c)=a+(-1)\cdot(4b-c)$$ Применим распределительное и сочетательное свойства умножения:

Доказательство тождеств

Если в выражении \(\textcolor{#ed5fa6}{5(b-c)-3c}\) раскрыть скобки, а затем привести подобные слагаемые, то получится тождественно равное ему выражение \(\textcolor{#ed5fa6}{5b-8c.}\)

Равенство $$5(b-c)-3c=5b-8c$$

верно при любых значениях переменных. Такие равенства называют тождественными.

Свойства действий над числами также являются тождествами, приведем некоторые из них:

$$\tag{\textcolor{#3eb489}{1}} a+b=b+a$$ $$\tag{\textcolor{#ed5fa6}{2}} a(bc)=(ab)c$$ $$\tag{\textcolor{#3eb489}{3}} a\cdot1=a$$ $$\tag{\textcolor{#ed5fa6}{4}} a+(-a)=0$$ $$\tag{\textcolor{#3eb489}{5}} a(-b)=-ab$$ $$\tag{\textcolor{#ed5fa6}{6}} (-a)(-b)=ab$$

Чтобы доказать, что некоторое равенство является тождеством, или, как говорят иначе, чтобы доказать тождество, используют тождественные преобразования выражений.

Докажем, например, тождество $$\tag{1} 7(2+b)-(14-b)=8b$$ Преобразуем левую часть равенства \((1):\)

\[\small\begin{alignedat}{2} 7(2+b)-(14-b)= \\ 14+7b-14+b= \\ 8b \end{alignedat}\] В результате тождественных преобразований мы получили правую часть равенства \((1).\) Значит, это равенство есть тождество.

Для доказательства тождества иногда преобразуют каждую его часть. Докажем, например, тождество $$\tag{2} d(c-a)+ab=a(b-d)+cd$$ Выполним преобразования: \[\small\begin{alignedat}{2} d(c-a)+ab=cd-ad+ab, \\ a(b-d)+cd= \\ ab-ad+cd= \\ cd-ad+ab \end{alignedat}\]

Левая и правая части равенства \((2)\) тождественно равны одному и тому же выражению. Поэтому они тождественно равны между собой. Значит, равенство \((2)\) — тождество.

Не всякое равенство есть тождество. Так, равенство \(x+2=2x\) не является тождеством. Действительно, если бы это равенство было тождеством, то оно было бы верным при всех значениях \(x.\) Однако, например, при \(x=1\) это равенство не является верным. Значит, оно не является тождеством.

Задачи для самостоятельного решения

№1. Являются ли выражения тождественно равными:

Решение

$$\tag{\textcolor{#3eb489}{1}} 2c\cdot3 \ \ \text{и} \ \ 6c$$ $$\tag{\textcolor{#3eb489}{2}} 7+(a+b) \ \ \text{и} \ \ (7+a)+b$$ $$\tag{\textcolor{#3eb489}{3}} -2a+2a \ \ \text{и} \ \ 0$$ $$\tag{\textcolor{#3eb489}{4}} (x-x)a \ \ \text{и} \ \ 0$$ $$\tag{\textcolor{#3eb489}{5}} x-y \ \ \text{и} \ \ y-x$$ $$\tag{\textcolor{#3eb489}{6}} (x-y)^{2} \ \ \text{и} \ \ (y-x)^{2}$$

№2. Упростите выражение, используя переместительное и сочетательное
свойства умножения:

Решение

← Следующая тема