Степень с натуральным показателем

§ 7. Тема урока: Степень с натуральным показателем.

Определение степени с натуральным показателем. Произведение нескольких натуральных множителей можно записать в виде степени. Например,

Выражение \(6^{8}\) читают по-разному: “Шесть в восьмой степени”, “Восьмая степень числа шесть”, “Степень числа шесть с показателем восемь”.

Степени с показателями \(2\) и \(3\) можно прочесть по-другому: запись \(a^{2}\) читается: “\(a\) в квадрате”, а запись \(b^{3}\) — “\(b\) в кубе”. См. математический язык.

Определение:
Степенью числа \(a\) с натуральным показателем \(n,\) большим \(1,\) называется произведение \(n\) множителей, каждый из которых равен \(a.\)

Степень числа \(a\) с показателем \(n\) обозначают так: \(a^{n}.\) Выражение \(a^{n}\) называют степенью, число \(a\) — основанием степени, число \(n\) — показателем степени.

Обратите внимание, что в определении степени числа наложено ограничение на показатель — \(n>1,\) потому что не принято рассматривать произведение состоящее только из одного элемента. Но показатель степени может быть равен единице.

Определение:
Степенью числа \(a\) с показателем \(1\) назвается само число \(a.\) То есть \(a^{1}=a.\)

По определению степени:

$$a^{1}=a, \ a^{2}=aa, \ a^{3}=aaa, \ a^{4}=aaaa.$$

Вообще:

$$a^{n}=\underbrace{a\cdot a\cdot … \cdot a}_{\text{n раз}}$$ Нахождение значения степени называют возведением в степень. Вот примеры возведения в степень: $$3^{4}=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81; \ 0^{2}=0\cdot 0=0;$$ $$(-6)^{3}=(-6)\cdot (-6)\cdot (-6)=-216;$$ $$9^{1}=9.$$

Ясно, что при возведении в степень положительного числа получается положительное число; при возведении в степень нуля получается нуль. $$0^{n}=0.$$ Появляется вопрос, а можно ли возводить в нулевую или отрицательную степени? Да, можно, но об этом чуть позже.

Можем подсчитать значение степенного выражения, например, \(2^{4}=16.\) В подобных ситуациях говорят, что число \(2\) возвели в четвертую степень и получили число \(16,\) или, число \(16\) есть четвертая степень двойки.

Равенство \((-2)^{2}=4\) означает, что число \(-2\) возвели во вторую степень или как говорят — в квадрат. Заметим, что \((-2)^{2}=(-2)\cdot(-2)\), а как известно минус на минус при умножении и делении даёт плюс, поэтому получается положительное число \(4.\) Это правило можно обобщить.

Всякое число \(a\) в четной степени \(2n,\) где \(n\in \mathbb{N}\) является неотрицательным.

$$a^{2n}\geqslant 0.$$

Напротив, всякое число \(a<0\) в нечетной степени \(2k+1,\) где \(k\in \mathbb{N}\) является отрицательным.

$$a^{2k+1}<0.$$

Степень и её свойства

Рассмотрим произведение двух степенных выражений с одинаковыми основаниями \(a^{3}a^{4}.\) Данное произведение можно привести к степени с основанием \(a,\) действительно:

$$a^{\textcolor{#ed5fa6}{3}}a^{\textcolor{#3eb489}{4}}=(\textcolor{#ed5fa6}{aaa})\cdot(\textcolor{#3eb489}{aaaa})=aaaaaaa=a^{7}$$

Отсюда несложно написать такой вывод, что \(a^{3}a^{4}=a^{3+4}=a^{7}.\) Аналогично можем поступить так и с другими степенями, например, \(2^{3}\cdot 2^{10}=2^{3+10}=2^{13}, \ \) \(b\cdot b^{9}=b^{1+9}=b^{10}.\)

Легко заметить такую закономерность исходя из вышеперечисленных примеров, что $$a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}$$ но этих примеров недостаточно для того, чтобы судить об истине данного утверждения для всех натуральных значений \(m\) и \(n,\) поэтому докажем его.

В математике утверждение требующее доказательства, называют теоремой.

Теорема:
Для любого числа \(a\) и любых натуральных \(n\) и \(m\) выполняется равенство:
\(a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}\)

Доказательство

Равенство \(a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}\) является тождеством и выражает основное свойство степени. Аналогично можно составить произведение из нескольких степеней с одинаковыми основаниями. Например, $$2\cdot 2^{2}\cdot 2^{3}\cdot 2^{4}=2^{1+2+3+4}=2^{10}$$

Итак, при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складывают, а основание оставляют прежним.

Рассмотрим выражение \(a^{5}:a^{3},\) где \(a\neq 0.\) Поскольку число \(a^{5}=a^{2+3}=a^{2}\cdot a^{3}\) — по определению, то отношение \(a^{5}:a^{3}\) можно записать так:

$$\frac{a^{5}}{a^{3}}=\frac{a^{2}\cdot a^{3}}{a^{3}}=a^{2}$$

Данный пример наталкивает на мысль о том, что \(a^{5}:a^{3}=a^{5-3}=a^{2},\) поэтому имеет место следующая теорема..

Теорема:
Для любого числа \(a\neq 0\) и любых натуральных \(n\) и \(m\) таких, что \(n>m\) справедливо:
\(a^{n}:a^{m}=a^{n-m}\)

Доказательство

Данная теорема, стало быть, даёт возможность сформулировать следующее правило:

при делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя, а основание остается прежним.

Теперь рассмотрим выражение \((a^{4})^{5},\) это число является степенью с основанием \(a^{4}\) и показателем \(5.\) Тогда по определению степени —

Данный пример подсказывает нам, что \((a^{n})^{m}=a^{n \ \cdot \ m},\) поэтому сформулируем следующую теорему..

Теорема:
Для любого числа \(a\) и любых натуральных чисел \(n\) и \(m\) выполняется равенство:
\((a^{n})^{m}=a^{n \ \cdot \ m}\)

Доказательство

Из только что доказанной теоремы следует такое правило:

при возведении степени в степень показатели перемножают, а основание оставляют прежним.

Например,

$$\tag{\textcolor{#3eb489}{1}} (2^{3})^{2}=2^{3 \ \cdot \ 2}=2^{6}=64$$

$$\tag{\textcolor{#ed5fa6}{2}} (5^{2})^{2}=5^{2 \ \cdot \ 2}=5^{4}=625$$

$$\tag{\textcolor{#3eb489}{3}} (2^k)^{3x+1}=2^{k \ \cdot \ (3x+1)}=2^{3kx+k}$$

Теорема:
Для любых чисел \(a\) и \(b\) и любого натурального \(n\) выполняется равенство:
\((ab)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}\)

Доказательство

Аналогично этому, можно получить свойство для трех и более множителей, например,

$$(abc)^{n}=((ab)c)^{n}=(ab)^{n}c^{n}=a^{n}b^{n}c^{n}$$

Теперь, стало быть, можно сформулировать такое правило:

при возведении произведения в степень каждый множитель возводят в степень и полученные результаты перемножают.

Задачи и примеры решений

№1. Самостоятельно сформулируйте ответы на следующие вопросы:

1. Запишите тождество, изображающее основное свойство степени.

2. Как умножить степени с одинаковыми основаниями?

3. Как разделить степени с одинаковыми основаниями?

4. Как возвести степень в степень?

5. Как возвести произведение в степень?

№2. Докажите, что при любом натуральном \(n\):

Решение

№3. Докажите, что:

Решение

№4. Решите уравнение:

Решение

№5. Упростите выражения:

Решение

№6. Представьте в виде степени выражение:

Решение

№7. Найдите значение:

Решение

$$(1\frac{1}{3})^{7}\cdot(\frac{3}{4})^{9}$$

№8. Сравните выражения:

Решение

№9. Сравните выражения:

Решение

№10. Какой цифрой оканчивается значение выражения \(2^{100} \ ?\)

Решение

← Следующая тема