Произведение одночлена и многочлена
Преобразование произведения одночлена и многочлена в многочлен стандартного вида
Распределительный закон умножения позволяет произведение одночлена и многочлена представить в виде многочлена. Например,
\[\begin{alignedat}{2} \small 9n^{2}p\cdot (7n^{2}+p^{2}-3pn)= \\ \small 9n^{2}p\cdot 7n^{2}+9n^{2}p\cdot p^{2}+ \\ \small 9n^{2}p\cdot (-3pn)= \\ \small 63n^{4}p+9n^{2}p^{3}-27n^{3}p^{2}. \end{alignedat}\]Определение:
Произведение одночлена и многочлена равно сумме произведений этого одночлена и каждого члена многочлена.
Вынесение общего множителя за скобки
В ряде случаев бывает полезно представить многочлен в виде произведения двух или нескольких множителей.
Например, для нахождения значения многочлена \( a^{2}-3ab \) при \( a=106,45; \ b=2,15 \) удобно, используя распределительный закон, записать этот многочлен в виде \( a(a-3b). \)
Теперь легко найти значение полученного выражения при данных значениях переменных \( a \) и \( b: \) \[\small\begin{alignedat}{2} a(a-3b)= \\ 106,45\cdot (106,45-3\cdot 2,15)= \\ 106,45\cdot (106,45-6,45)= \\ 106,45\cdot 100=10645. \end{alignedat}\]
Представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов (среди которых могут быть и одночлены) называется разложением многочлена на множетели.
В многочлене \( 12a^{2}b-9b^{2} \) члены имеют общий множитель \( 3b. \) Чтобы разложить этот многочлен на множители, представим каждый член многочлена в виде произведения двух множителей, один из которых \( 3b, \) а затем применим распределительный закон:
\[\small\begin{alignedat}{2} 12a^{2}b-9b^{2}= \\ 3b\cdot 4a^{2}-3b\cdot 3b = \\ 3b(4a^{2}-3b). \end{alignedat}\]Примененный нами способ разложения многочлена на множетели называют вынесением общего множителя за скобки. В рассмотренном примере мы вынесли за скобки \( 3b, \) но можно было бы выполнить разложение на множетели, вынося за скобки \( b; \ -b; \ -3b; \ 6b \) и т.д. Например, если вынести за скобки \( -6b, \) получим:
\[\small\begin{alignedat}{2} 12a^{2}b-9b^{2}= \\ -6b(-2a^{2}+1,5b). \\ \end{alignedat}\]Обычно, если все коэффициенты многочлена — целые числа, то выносят за скобки множитель с коэффициентом, равным наибольшему общему делителю модулей всех коэффициентов многочлена (взятым со знаком “плюс” или “минус”). Одинаковые переменные, входящие во все члены, выносят с наименьшим показателем, который они имеют в данном многочлене.
Например, в многочлене \( 18a^{4}b^{3}-45a^{2}b^{5}-63ab^{6} \) наибольший общий делитель модулей всех коэффициентов равен \( 9, \) а переменные \( a \) и \( b, \) входящие во все члены, имеют наименьшие показатели, соответственно \( 1 \) и \( 3. \) Этот многочлен можно представить в виде:
\[\small 9ab^{3}(2a^{3}-5ab^{2}-7b^{3}) \]или в виде:
\[\small -9ab^{3}(-2a^{3}+5ab^{2}+7b^{3}). \]Задачи и примеры решений
№1. Самостоятельно сформулируйте ответы на следующие вопросы:
Как умножить одночлен на многочлен?
Как вынести общий множитель за скобки?
Как разложить многочлен на множетели?
Как преобразовать произведение одночлена и многочлена в многочлен стандартного вида?