reshu.su

Многочлен. Стандартный вид многочлена

§ 9. Тема урока: Многочлен и его стандартный вид.

Понятие многочлена

Из одночленов \( 2x^{3}, \ -6xy\cdot 2y, \ 7x \) и \( -3y \) можно составить различные выражения. Вот некоторые из них:

\[\tag{\textcolor{#228B22}{1}} \footnotesize(2x^{3}-6xy\cdot 2y)(7x-3y)\] \[\tag{\textcolor{#ed5fa6}{2}} \footnotesize\frac{2x^{3}-6xy\cdot 2y-3y}{7x}\] \[\tag{\textcolor{#228B22}{3}} \footnotesize2x^{3}-6xy\cdot 2y+7x-3y.\]

Первое выражение есть произведение, второе — частное, а третье — сумма. В этой сумме каждое слагаемое — одночлен.

Определение:
Сумму одночленов называют многочленом. Каждый одночлен, входящий в многочлен, называют членом многочлена.

Суммы \( \frac{a}{c}+8a^{2}c-1, \ a(b+c)-3a^{2}b \) не являются многочленами, так как не каждое слагаемое, входящее в сумму, — одночлен.

Многочлен \( 6a^{2}b-2a^{2}b^{5}+a^{2}b-2a^{2}b^{5} \) содержит четыре члена. Первый и третий отличаются друг от друга только коэффициентами. Эти слагаемые подобны. Второй и четвертый члены многочлена равны. Это тоже подобные слагаемые.

Подобные слагаемые в многочлене называют подобными членами. Многочлен, содержащий подобные члены, можно упростить, выполнив приведение подобных членов (приведение подобных слагаемых).
Например:

\[\small\begin{alignedat}{2} 6a^{2}b-2a^{2}b^{5}+a^{2}b-2a^{2}b^{5}= \\ 7a^{2}b-4a^{2}b^{5}. \end{alignedat}\]

Приведение многочлена к стандартному виду

Многочлен \( 8x^{3}y^{2}-2xyx\cdot 3xy+xyxy^{3}-7x^{2}y+6\) состоит из пяти слагаемых. Второй и третий его члены — одночлены нестандартного вида. Их можно упростить; тогда упростится и многочлен:

\[\small 8x^{3}y^{2}-2xyx\cdot 3xy+ \\ + \ xyxy^{2}-7x^{2}y+6= \\ 8x^{3}y^{2}-6x^{3}y^{2}+x^{2}y^{3}-7x^{2}y+6.\]

Все члены многочлена \( 8x^{3}y^{2}-6x^{3}y^{2}+x^{2}y^{3}-7x^{2}y+6 \) имеют стандартный вид. Однако и этот многочлен можно преобразовать, привести к более простому виду, если выполнить приведение подобных членов:

\[\small\begin{alignedat}{2} 8x^{3}y^{2}-6x^{3}y^{2}+x^{2}y^{3}-7x^{2}y+6= \\ 2x^{3}y^{2}+x^{2}y^{3}-7x^{2}y+6. \\ \end{alignedat}\]

Полученный многочлен называют многочленом стандартного вида.

Если все члены многочлена записать в стандартном виде и выполнить приведение подобных членов, то получится многочлен стандартного вида. В зависимости от числа членов многочлены стандартного вида называют двучленами, трехчленами, четырехчленами и т.д.

Одночлены также относят к многочленам, считая одночлен частным случаем многочлена. Ниже приведена схема иллюстрирующая связь между многочленами, одночленами и их частным видом — числами.

Связь многочленов, одночленов и чисел

Многочлен \( 8x^{3}-3x^{4}+x^{2}-x-5 \) имеет стандартный вид. Он состоит из пяти членов — одночленов третьей, четвертой, второй, первой и нулевой степени. Наибольшую степень имеет одночлен \( -3x^{4}. \) Этот одночлен называют старшим членом многочлена \( 8x^{3}-3x^{4}+x^{2}-x-5. \)

Определение:
Степенью многочлена стандартного вида с одной переменной называют степень старшего его члена.

Рассматриваемый многочлен имеет четвертую степень, так как четвертую степень имеет старший его член. У многочлена с двумя переменными \( 1+2x^{4}-5x^{2}y^{3}-2xy \) наибольшую степень (пятую) имеет член \( -5x^{2}y^{3}. \) Считают, что этот многочлен есть многочлен пятой степени.

Задачи и примеры решений

№1. Самостоятельно сформулируйте ответы на следующие вопросы:

  1. Что называют многочленом?

  2. Какой многочлен называют двучленом? трехчленом?

  3. Что называют подобными членами многочлена?

  4. Какой многочлен называют многочленом стандартного вида?

  5. Что называют степенью многочлена стандартного вида?

← Следующая тема