Сложение и вычитание многочленов
Раскрытие скобок
Выражения в таблице
\[\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c} \small(5a^{2}b-8ab+b^{2})+(3b^{3}-4ab) \\ \hline 2p^{3}-(8p-3) \\ \hline xy(x-5y+3) \\ \hline (m+n)(m^{2}-mn+n^{2}) \\ \hline \end{array}\]представляют собой сумму, разность и произведение многочленов (или одночленов и многочленов). Такие выражения называют целыми алгебраическими выражениями. Многочлен тоже целое выражение.
Основная задача тождественных преобразований целых выражений состоит в приведении целого выражения к многочлену стандартного вида. Мы увидим в дальнейшем, что такое преобразование всегда выполнимо.
В этом параграфе мы рассмотрим преобразование суммы и разности многочленов в многочлен стандартного вида.
Пример 1.
Пусть дана сумма многочленов:
\[ \small (5x^{2}+7x-8)+ \\ (x^{3}-3x^{2}-6x+9). \]Если перед скобками стоит знак “плюс”, то скобки можно опустить, сохранив знак каждого из слагаемых суммы, заключенной в скобки.
На основании этого правила и правила приведения подобных членов выполним преобразование:
\[\footnotesize\begin{alignedat}{2} (5x^{2}+7x-8)+(x^{3}-3x^{2}-6x+9)= \\ 5x^{2}+7x-8+x^{3}-3x^{2}-6x+9= \\ x^{3}+2x^{2}+x+1. \end{alignedat}\]Пример 2.
Преобразуем многочлен в разность:
\[ \small (10a^{3}b-a^{2}b^{2}-b^{4})- \\ (-3a^{3}b+ab^{3}-5b^{4}). \]Если перед скобками стоит знак “минус”, то скобки можно опустить, изменив знак каждого из слагаемых суммы, заключенной в скобки.\[\footnotesize\begin{alignedat}{2} 10a^{3}b-a^{2}b^{2}-b^{4}+3a^{3}b-ab^{3}+5b^{4}= \\ 13a^{3}b-a^{2}b^{2}-ab^{3}+4b^{4}. \ \ \ \ \ \end{alignedat}\]
Расположенные многочлены
Члены многочлена \( 5a^{2}+9a^{5}-7a^{4}-a^{3}+12-a \) можно расположить в любом порядке. Например, их можно расположить в порядке убывания показателей переменной \(a:\)
\[ \small 9a^{5}-7a^{4}-a^{3}+5a^{2}-a+12 \]или в порядке возрастания показателей переменной \(a:\)
\[ \small 12-a+5a^{2}-a^{3}-7a^{4}+9a^{5}. \]В первом случае говорят, что многочлен расположен по убывающим степеням переменной \(a,\) во втором — что он расположен по возрастающим степеням переменной \(a.\)
Если многочлен содержит две (или более двух) переменные, то его также в ряде случаев бывает легко расположить по возрастающим или убывающим степеням какой-либо одной из переменных.
Например, многочлен \( 11a^{2}x^{3}-8a^{4}x+9x^{5}-a^{5} \) можно расположить по убывающим степеням переменной \( x: \ 9x^{5}+11a^{2}x-8a^{4}x-a^{5}. \)
Располагать многочлены по убывающим или возрастающим степеням какой-либо переменной бывает целесообразно при выполнении тождественных преобразований целых выражений.
Выполняя преобразование суммы и разности расположенных многочленов в многочлен, иногда бывает удобно запись вести “столбиком”, записывая члены одного многочлена под подобными им членами другого:
\[\small\begin{alignedat}{2} (5b^{4}+7b^{3}-11b^{2}-8b+9) \ + \\ (-3b^{4}+5b^{3}+16b^{2}-7) = \\ 5b^{4}+7b^{3}-11b^{2}-8b+9 \ - \\ 3b^{4}+5b^{3}+16b^{2}-7 = \\ 2b^{4}+12b^{3}+5b^{2}-8b+2. \end{alignedat}\]Заключение в скобки
Иногда бывает полезно часть членов многочлена (или все его члены) объеденить в группы, заключая их в скобки.
Тождества
| \[\small a+(b-c)=a+b-c \] |
| \[\small a-(b-c)=a-b+c \] |
выражают правила раскрытия скобок, когда перед скобками стоят знаки “плюс” или “минус”. Если поменять местами левые и правые части этих тождеств, то получим:
| \[\small a+b-c=a+(b-c) \] |
| \[\small a-b+c=a-(b-c) \] |
Можно заметить, что знаки членов многочлена, заключаемых в скобки, не меняются, если перед скобками поставить знак “плюс”, и меняются на противоположные, если перед скобками поставить знак “минус”.
Задачи и примеры решений
№1. Самостоятельно сформулируйте ответы на следующие вопросы:
Как складывать многочлены?
Как преобразовать многочлен в многочлен стандартного вида?
Что такое расположенные многочлены?
Как находить разность многочленов?
Назовите основные правила раскрытия скобок.