Доказательство тождественности выражений
Пусть надо доказать, что выражения
\[\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c:c:c} 4a(21-7b) & & \\ \hline & и & \\ \hdashline & & -28a(b-3) \end{array}\]тождественно равны. Эту задачу иногда формулируют иначе:
Доказать тождество \( 4a(21-7b)=-28a(b-3). \) Задачи такого типа решаются с помощью тождественных преобразований. Ранее мы уже рассматривали доказательства тождеств в § 4, но сейчас мы добьём эту тему.
Доказать, что равенство \( 4a(21-7b)=-28a(b-3) \) является тождеством, можно различными способами.
1-ый способ доказательства
Преобразуем левую часть равенства к такому же виду, какой имеет правая часть. Для этого из многочлена \( 21-7b, \) заключенного в скобки, вынесем за скобки число \( -7: \)
\[\small\begin{alignedat}{2} 4a(21-7b)= \\ 4a\cdot (-7)\cdot (-3+b) = \\ -28a(b-3). \end{alignedat}\]Полученное выражение совпадает с правой частью исходного неравенства. Тождественность выражений доказана.
2-ой способ доказательства
Преобразуем правую часть равенства к такому же виду, какой имеет левая часть. Для этого представим множитель \( -28a \) в виде произведения \( 4a\cdot (-7) \) и умножим \( -7 \) на выражение \( b-3, \) заключенное в скобки:
\[\small\begin{alignedat}{2} -28a(b-3)= \\ 4a\cdot (-7)\cdot (b-3) = \\ 4a\cdot (-7b+21) = \\ 4a\cdot (21-7b). \end{alignedat}\]Тождество доказано.
3-ий способ доказательства
Заменим левую и правую части равенства тождественно равными им многочленами:
\[\small\begin{alignedat}{2} 4a(21-7b)=84a-28ab; \\ -28a(b-3)=-28ab+84a= \\ 84a-28ab. \end{alignedat}\]Левая и правая части исходного равенства тождественно равны одному и тому же многочлену, поэтому они тождественно равны между собой.
В каждом из рассмотренных способов доказательства мы использовали важное свойство тождественно равных выражений:
Свойство:
Если два выражения тождественно равны одному и тому же выражению, то они тождественно равны между собой.
При доказательстве тождества
\[\small 4a(21-7b)=-28a(b-3) \]все рассмотренные способы доказательства были одинаково удобны. Так бывает далеко не всегда. Например, тождество \( a(a+c)+c(b-a)=a(a+b)-b(a-c) \) не легко доказать преобразованием одной части равенства к виду, которой имеет другая часть. Здесь удобнее преобразовать каждую часть равенства в многочлен стандартного вида:
\[\small\begin{alignedat}{2} \textcolor{#84b2ff}{1)} \ \ a(a+c)+c(b-a)= \\ a^{2}+ac+bc-ac= \\ a^{2}+bc; \\ \textcolor{#84b2ff}{2)} \ \ a(a+b)-b(a-c)= \\ a^{2}+ab-ab+bc= \\ a^{2}+bc. \end{alignedat}\]В результате преобразования каждой части равенства мы получили один и тот же многочлен \( a^{2}+bc, \) следовательно, тождество доказано.
Задачи и примеры решений
№1. Проверь себя:
Что такое тождество?
Сформулируйте первый способ доказательства тождества
Сформулируйте второй способ доказательства тождества
Сформулируйте третий способ доказательства тождества
Сформулируйте свойство тождественно равных выражений