Предложение “Медведь — животное” является истинным высказыванием, а предложение “Озеро Байкал находится в Африке” — ложным.
Предложения “
\(\footnotesize5>3\)
” и “
\(\footnotesize2\cdot2=5\)
” тоже высказывания, причем первое из них истинно, а второе ложно.
Сравним два числовых выражения:
\[ \small\tag{\textcolor{#3eb489}{1}} 31-2,5\cdot8\]
\[ \small\tag{\textcolor{#ed5fa6}{2}} 4\frac{1}{8}+2\frac{7}{8}\]
Значение первого выражения — число
\(\footnotesize \textcolor{#3eb489}{11},\)
а второго —
\(\footnotesize \textcolor{#ed5fa6}{7}.\)
Неравенство
\(\footnotesize31-2,5\cdot8>4\frac{1}{8}+2\frac{7}{8}\)
верное, так как
\(\footnotesize\textcolor{#3eb489}{11}\)
больше
\(\footnotesize\textcolor{#ed5fa6}{7}.\)
Неравенство
\(\footnotesize31-2,5\cdot8<4\frac{1}{8}+2\frac{7}{8}\)
неверное. Также будет неверным равенство
\(\footnotesize 31-2,5\cdot8=4\frac{1}{8}+2\frac{7}{8}.\)
Иначе говоря, высказывание
\(\footnotesize 31-2,5\cdot8>4\frac{1}{8}+2\frac{7}{8}\)
истинно, а высказывания
\(\footnotesize 31-2,5\cdot8<4\frac{1}{8}+2\frac{7}{8}\)
и
\(\footnotesize 31-2,5\cdot8=4\frac{1}{8}+2\frac{7}{8}\)
ложны.
1. Cумма двух отрицательных чисел меньше их произведения.
\({\footnotesize\textcolor{#3eb489}{Верно.}}\)
При сложении отрицательных чисел — получим отрицательное число, а при умножении двух отрицательных чисел — получаем всегда положительное (минус на минус при умножении и делении дает плюс). Стало быть сумма меньше чем произведение, так как отрицательное число всегда меньше положительного.
2. Разность двух четных чисел есть число четное.
\({\footnotesize\textcolor{#3eb489}{Верно.}}\)
Проверим, действительно ли это так? Пусть первое четное число
\(\footnotesize 2n,\)
а второе
\(\footnotesize 2k,\)
где
\(\footnotesize n, k\in\mathbb{Z}\)
(т.е
\(\footnotesize n\)
и
\(\footnotesize k\)
принадлежат множеству целых чисел).
Вычтем из первого числа — второе, получим:
\(\footnotesize2n-2k=2(n-k),\)
разность двух целых чисел есть число целое, а любое целое число кратное
\(\footnotesize 2\)
есть четное. Поэтому
\(\footnotesize 2(n-k)\)
четное число.
3. Разность двух нечетных чисел есть число нечетное.
\({\footnotesize\textcolor{#ed5fa6}{Неверно.}}\)
Пусть первое нечетное число
\(\footnotesize 2n+1,\)
а второе
\(\footnotesize 2k+1,\)
где
\(\footnotesize n, k\in\mathbb{Z}\)
. Тогда вычтем из первого числа — второе, получим:
$$2n+1-(2k+1)=2n+1-2k-1$$
$$2n-2k=2(n-k)$$
Мы уже получали результат
\(\footnotesize 2(n-k)\)
и это число является четным. Поэтому высказывание — ложное.
4. Сумма двух простых чисел есть число четное.
\({\footnotesize\textcolor{#ed5fa6}{Неверно.}}\)
(напомню, простыми называются такие числа, которые делятся нацело только сами на себя и на единицу).
$$\tag{\textcolor{#3eb489}{1}}\frac{2}{7}:3\frac{1}{2}>0,016:0,2$$
Рассмотрим данные числовые выражения по отдельности и найдем их значения:
(о том, как искать значения числовых выражений смотрите тут.)
Рассмотрим выражение:
\(\small\frac{2}{7}:3\frac{1}{2}\)
$$\frac{2}{7}:3\frac{1}{2}=\frac{2}{7}:\frac{3\cdot2+1}{2}$$
$$\frac{2}{7}:\frac{7}{2}=\frac{2}{7}\cdot\frac{2}{7}$$
$$\frac{4}{49}\approx0,082$$
Рассмотрим выражение:
\(\footnotesize0,016:0,2\)
$$0,016:0,2=\frac{16}{1000}:\frac{2}{10}$$
$$\frac{16}{1000}:\frac{2}{10}=\frac{16}{1000}\cdot\frac{10}{2}$$
$$\frac{16}{1000}\cdot\frac{10}{2}=\frac{8}{100}=0,08$$
$$\tag{\textcolor{#ed5fa6}{2}}8\frac{1}{2}:2=21,25:5$$
Рассмотрим выражение:
\(\footnotesize8\frac{1}{2}:2\)
$$8\frac{1}{2}:2=\frac{8\cdot2+1}{2}:\frac{2}{1}$$
$$\frac{8\cdot2+1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{17}{4}=4,25$$
Рассмотрим выражение:
\(\footnotesize21,25:5\)
$$21,25:5=\frac{2125}{100}:\frac{5}{1}$$
Сократим числа
\(\footnotesize2125\)
и
\(\footnotesize100\)
на
\(\footnotesize25\)
$$\frac{2125}{100}:\frac{5}{1}=\frac{85}{4}\cdot\frac{1}{5}$$
Сократим числа
\(\footnotesize85\)
и
\(\footnotesize5\)
на
\(\footnotesize5\)
$$\frac{85}{4}\cdot\frac{1}{5}=\frac{17}{4}$$
$$\frac{17}{4}=4,25$$
Не выполняя вычислений, поставьте вместо многоточия знак
\(\footnotesize >,\)
\(\footnotesize <\)
или
\(\footnotesize =\)
так, чтобы получить истинное высказывание:
$$1243\cdot\frac{2}{3} \ < \ \tag{\textcolor{#3eb489}{1}}1243\cdot\frac{7}{3}$$ При умножении на число большее единицы — получим число большее данного.
$$821\cdot(-\frac{1}{7}) \ > \ \tag{\textcolor{#ed5fa6}{2}}821\cdot(-\frac{8}{7})$$ Оба числа будут отрицательными, значит большее то — которое по модулю будет меньше.
$$6,24\cdot(-1) \ = \ \tag{\textcolor{#3eb489}{3}}6,24:(-1)$$ При умножении и делении на единицу — ничего не меняется.
$$12,696:0,5 \ > \ \tag{\textcolor{#ed5fa6}{4}}1243\cdot0,5$$ Деление на
\(\footnotesize 0,5\)
равносильно умножению на
\(\footnotesize 2.\)
Предложения с переменными
В предложении “Река … впадает в Каспийское море” пропущено слово — название реки. Если в это предложение вместо многоточия поставить слово “Волга”, то получится истинное высказывание; если же поставить слово “Енисей”, то получится ложное высказывание. Такие предложения называют предложениями с переменной.
В математике часто употребляются предложения, содержащие переменные. В них переменные обычно обозначают буквами латинского алфавита. Приведем примеры.
Каждое из этих предложений при одних значениях букв обращается в истинное высказывание, а при других в ложное. Например, предложение
\(\small{(\textcolor{#3eb489}{1})}\)
при
\(\footnotesize x=13\)
выражает истину, а при
\(\footnotesize x=24\)
— ложь. Предложение
\(\small{(\textcolor{#3eb489}{4})}\)
при
\(\footnotesize x=12, y=-7\)
будет истинным высказыванием, а при
\(\footnotesize x=-1, y=16\)
— ложным.
Составим таблицу истинности для высказывания
\(\footnotesize(2a-5)^{2}>81\)
при произвольных значениях переменной
\(\footnotesize a.\)
\[\textcolor{#ed5fa6}{a}\]
\[ \ (2a-5)^{2}>81 \ \]
Результат
\[-3\]
\[121>81\]
Истинное
\[-2\]
\[81>81\]
Ложное
\[ \ -1,5 \ \]
\[64>81\]
Ложное
\[0\]
\[25>81\]
Ложное
\[3,5\]
\[4>81\]
Ложное
\[6\]
\[49>81\]
Ложное
\[7\]
\[81>81\]
Ложное
\[10\]
\[225>81\]
Истинное
Легко заметить, что истинность нашего высказывания достигается далеко не при всех значениях переменной
\(\small a.\)
Задачи для самостоятельного решения
Докажите истинность каждого высказывания, если известны значения переменных:
$$\tag{\textcolor{#3eb489}{1}}\frac{k}{4} \ — \ Правильная \ дробь$$
Правильной дробью считается та, у которой числитель меньше знаменателя, значит
$$ k=2$$
$$\tag{\textcolor{#3eb489}{2}} k+97 \ — \ Двузначное \ число$$
$$ k=1$$
$$\tag{\textcolor{#3eb489}{3}} -k>0$$
$$ k=-1\rightarrow -(-1)=1$$
$$\tag{\textcolor{#3eb489}{4}} k+8 \ — \ Простое \ число$$
Простое число имеет всего два делителя, само себя и единицу
$$ k=3\rightarrow 3+8=11.$$