reshu.su

Высказывания и неравенства

Тема урока: § 3. Высказывания и неравенства.

Предложение “Медведь — животное” является истинным высказыванием, а предложение “Озеро Байкал находится в Африке” — ложным.

Предложения “ \(\footnotesize5>3\) ” и “ \(\footnotesize2\cdot2=5\) ” тоже высказывания, причем первое из них истинно, а второе ложно.

Сравним два числовых выражения: \[ \small\tag{\textcolor{#3eb489}{1}} 31-2,5\cdot8\] \[ \small\tag{\textcolor{#ed5fa6}{2}} 4\frac{1}{8}+2\frac{7}{8}\]

Значение первого выражения — число \(\footnotesize \textcolor{#3eb489}{11},\) а второго — \(\footnotesize \textcolor{#ed5fa6}{7}.\)
Неравенство \(\footnotesize31-2,5\cdot8>4\frac{1}{8}+2\frac{7}{8}\) верное, так как \(\footnotesize\textcolor{#3eb489}{11}\) больше \(\footnotesize\textcolor{#ed5fa6}{7}.\)
Неравенство \(\footnotesize31-2,5\cdot8<4\frac{1}{8}+2\frac{7}{8}\) неверное.
Также будет неверным равенство \(\footnotesize 31-2,5\cdot8=4\frac{1}{8}+2\frac{7}{8}.\)
Иначе говоря, высказывание \(\footnotesize 31-2,5\cdot8>4\frac{1}{8}+2\frac{7}{8}\) истинно,
а высказывания \(\footnotesize 31-2,5\cdot8<4\frac{1}{8}+2\frac{7}{8}\) и \(\footnotesize 31-2,5\cdot8=4\frac{1}{8}+2\frac{7}{8}\) ложны.

Задачи по теме

№1. Какие из следующих высказываний истинны:
Решение
  1. сумма двух отрицательных чисел меньше их произведения;

  2. разность двух четных чисел есть число четное;

  3. разность двух нечетных чисел есть число нечетное;

  4. сумма двух простых чисел есть число четное?


№2. Сравните выражения:
Решение
Вместо \(\footnotesize and \) поставьте соответствующий знак \(\footnotesize>\) , \(\footnotesize<\) или \(\footnotesize=\) .

$$\frac{2}{7}:3\frac{1}{2} \ \ \ and \ \ \ \tag{\textcolor{#3eb489}{1}}0,016:0,2$$

$$8\frac{1}{2}:2 \ \ \ and \ \ \ \tag{\textcolor{#ed5fa6}{2}}21,25:5$$


№3. Сравните выражения:
Решение
Не выполняя вычислений, поставьте вместо многоточия знак \(\footnotesize >,\) \(\footnotesize <\) или \(\footnotesize =\) так, чтобы получить истинное высказывание:

$$1243\cdot\frac{2}{3} \ … \ \tag{\textcolor{#3eb489}{1}}1243\cdot\frac{7}{3}$$ $$821\cdot(-\frac{1}{7}) \ … \ \tag{\textcolor{#ed5fa6}{2}}821\cdot(-\frac{8}{7})$$ $$6,24\cdot(-1) \ … \ \tag{\textcolor{#3eb489}{3}}6,24:(-1)$$ $$12,696:0,5 \ … \ \tag{\textcolor{#ed5fa6}{4}}1243\cdot0,5$$

Предложения с переменными

В предложении “Река … впадает в Каспийское море” пропущено слово — название реки. Если в это предложение вместо многоточия поставить слово “Волга”, то получится истинное высказывание; если же поставить слово “Енисей”, то получится ложное высказывание. Такие предложения называют предложениями с переменной.

В математике часто употребляются предложения, содержащие переменные. В них переменные обычно обозначают буквами латинского алфавита. Приведем примеры.

\[\tag{\textcolor{#3eb489}{1}}(x+7):5=n, n\in \mathbb{Z}\]

Сумма \(\footnotesize x\) и \(\footnotesize 7\) кратна \(\footnotesize 5.\)
\[\tag{\textcolor{#3eb489}{2}}a-8>3\] \[\tag{\textcolor{#3eb489}{3}}9-y=2\] \[\tag{\textcolor{#3eb489}{4}}x+y=5\]

Каждое из этих предложений при одних значениях букв обращается в истинное высказывание, а при других в ложное. Например, предложение \(\small{(\textcolor{#3eb489}{1})}\) при \(\footnotesize x=13\) выражает истину, а при \(\footnotesize x=24\) — ложь. Предложение \(\small{(\textcolor{#3eb489}{4})}\) при \(\footnotesize x=12, y=-7\) будет истинным высказыванием, а при
\(\footnotesize x=-1, y=16\) — ложным.

Составим таблицу истинности для высказывания \(\footnotesize(2a-5)^{2}>81\) при произвольных значениях переменной \(\footnotesize a.\)

\[\textcolor{#ed5fa6}{a}\] \[ \ (2a-5)^{2}>81 \ \]
Результат
\[-3\] \[121>81\]
Истинное
\[-2\] \[81>81\]
Ложное
\[ \ -1,5 \ \] \[64>81\]
Ложное
\[0\] \[25>81\]
Ложное
\[3,5\] \[4>81\]
Ложное
\[6\] \[49>81\]
Ложное
\[7\] \[81>81\]
Ложное
\[10\] \[225>81\]
Истинное

Легко заметить, что истинность нашего высказывания достигается далеко не при всех значениях переменной \(\small a.\)

Задачи для самостоятельного решения

Докажите истинность каждого высказывания, если известны значения переменных:
Решение
\[\small\tag{\textcolor{#3eb489}{а}}0,7x-12y=23,3\] \[\small\tag{\textcolor{#3eb489}{б}}2x-0,5y>-7\] \[\small x=-1, \ y=-2\]


Найдите значение переменной, при котором обращается в истинное высказывание предложение:
Решение
\[ \begin{alignedat}{4} \small \frac{k}{4} \ — \ \footnotesizeПравильная \ дробь \\ \small k+97 \ — \ \footnotesizeДвузначное \ число \\ \small -k \ — \ \footnotesizeПоложительное \ число \\ \small k+8 \ — \ \footnotesizeПростое \ число \\ \end{alignedat}\]

Следующая тема