Одночлен. Стандартный вид одночлена
Понятие одночлена
Рассмотрим выражения:
\[\def\arraystretch{2} \begin{array}{c:c:c} -2 & \frac{3}{5} & a \\ \hline (-x)^{2} & -3\cdot8 & -b \\ \hdashline 2abbb & 8a^{3}b^{7}c & (a^{2})^{3} \end{array}\]Среди них содержатся: числа, переменные, выражения, противоположные переменным (т.е. с противоположным знаком), а также степени чисел и переменных и их произведения. Такие выражения называют одночленами.
Любая сумма, разность, частное — не является одночленом. Например, выражения:
\[\def\arraystretch{2} \begin{array}{c:c:c} a^{2}+5 & & \\ \hline & x^{2}-y^{2} & \\ \hdashline & & \frac{b^{3}}{c} \end{array}\]не являются одночленами.
Не является одночленом и выражение \((a+b)^{3},\) так как представляет собой степень суммы, а не степень переменной или числа. Также не является одночленом выражение \(\frac{2pq}{3},\) так как представляет собой частное, но оно в отличие от рассмотренных выше может быть представлено в виде произведения числа \(\frac{2}{3}\) и переменных \(p\) и \(q,\) то есть в виде одночлена \(\frac{2}{3}pq.\)
Стандартный вид одночлена
Одночлен \(\textcolor{#ed5fa6}{-3aax\cdot5ax}\) можно представить в различных видах. Например, как \(\textcolor{#3eb489}{-15aaaxx}\) или \(-15a^{3}x^{2}.\) Одночлен \(-15a^{3}x^{2}\) отличается от одночленов \(\textcolor{#ed5fa6}{-3aax\cdot5ax}\) и \(\textcolor{#3eb489}{-15aaaxx}\) тем, что он имеет один числовой множитель, стоящий на первом месте, и каждое произведение одинаковых переменных в нем представлено степенью. Такой вид одночлена называют стандартным.
Определение:
Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена.
Одночлены такие, как \(abc\) и \(-x^{2},\) не содержат числовых множителей. Тем не менее их относят к одночленам, имеющим стандартный вид. Считают, что коэффициентами этих одночленов служат числа \(1\) и \(-1,\) так как \(abc=1\cdot abc\) и \(-x^{2}=(-1)\cdot x^{2}.\)
Приведем примеры одночленов, представленных в стандартном виде:
\[\tag{\textcolor{#228B22}{1}} \small 2ab\] \[\tag{\textcolor{#ed5fa6}{2}} \small-\frac{3}{7}c^{2}\] \[\tag{\textcolor{#228B22}{3}} \small x^{2}y^{3}\] \[\tag{\textcolor{#ed5fa6}{4}} \small -m^{6}\] \[\tag{\textcolor{#228B22}{5}} \small 3,14p^{10}q.\]
Приведение одночлена к стандартному виду есть тождественное преобразование, выполняемое на основании определения степени или свойств степени (см. свойства степени), переместительного и сочетательного законов умножения.
Как привести одночлен к стандартному виду?
Пусть составлена задача привести одночлен \( 3ab^{2}\cdot 5a^{3}b \) к стандартному виду.
Используя переместительный и сочетательный законы умножения, выполним преобразование:
\[ 3ab^2\cdot 5a^{3}b=(3\cdot5)\cdot(aa^{3})\cdot(b^{2}b). \]
Применив основное свойство степени, получим:
\[ (3\cdot5)\cdot (aa^{3})\cdot (b^{2}b)=15a^{4}b^{3}. \]
Одночлен \( 3ab^{2}\cdot 5a^{3}b \) с помощью законов действий и свойств степени мы привели к стандартному виду \( 15a^{4}b^{3}. \)
Подобные одночлены
Определение:
Подобными одночленами называются одночлены с одинаковыми буквенными частями.
Пример:
\( 2a \) и \( 35a \) — подобны, так как имеют одинаковую буквенную часть \( a. \)
Более подробно подобные одночлены мы рассмотрим в следующей статье.
Понятие о степени одночлена
В одночлене \( 5x^{2} \) переменная \( x \) во второй степени, а в одночлене \( 3,7x^{5} \) — в пятой степени. Говорят, что одночлен \( 5x^{2} \) — второй степени, а одночлен \( 3,7x^{5} \) — пятой степени.
Если одночлен содержит несколько переменных, то степень такого одночлена условились считать равной сумме показателей степеней этих переменных.
Например, одночлен \( 8x^{3}y^{2}z \) имеет шестую степень, так как сумма показателей входящих в него переменных равна \( 3+2+1=6. \) Степень одночлена — \( 0,9ab \) равна двум, одночлена — \( \frac{3}{17}m^{6}n^{3} \) — девяти.
Всякое число является одночленом. Степень такого одночлена договорились считать равной нулю.
Исключение составляет число нуль. Этому одночлену не приписывается никакой степени. Целесообразность такого исключения будет выяснена в дальнейшем.
По определению полагают, что при \( x\not =0, \ x^{0}=1. \)
Отсюда следует, что, например, число \( 5 \) можно представить в виде \( 5x^{0} \) или в виде \( 5a^{0}b^{0}. \)
Степень каждого из одночленов \( 5x^{0} \), \( 5a^{0}b^{0} \) и, следовательно, одночлена \( 5 \) равна нулю.
Такое определение степени с показателем, равным нулю, естественно. Если мы хотим приписать смысл выражению \( a^{0} \), где \( a\not =0, \) и чтобы при этом сохранилось основное свойство степени \( a^{m}a^{n}=a^{m+n}, \) мы должны положить, что \( a^{0}=1. \) Действительно, потребовав сохранения основного свойства степени, получим для любого \( n\in ℕ \) и \( a\not =0: \)
\[ a^{n}a^{0}=a^{n+0}=a^{n}. \]
Отсюда \( a^{0} \) необходимо должно быть равным единице.
Выражению \( 0^{0} \) не приписывается никакого смысла.
Задачи и примеры решений
№1. Самостоятельно сформулируйте ответы на следующие вопросы:
Какие выражения называют одночленами?
Объясните, какой вид одночлена называют его стандартным видом.
Что называют коэффициентом одночлена?
Какие одночлены называют подобными?
Что называют степенью одночлена?