Линейное уравнение с одной переменной

Тема урока: § 5. Линейное уравнение с одной переменной. Навык решения линейных уравнений проверяется на экзаменах ОГЭ и ЕГЭ и необходим для решения текстовых задач.

Существуют ли такие значения переменной $x$, при которых соответственные значения выражений $3x$ и $x+8$ равны? Чтобы ответить на этот вопрос, надо решить уравнение:

$$3x=x+8$$

При $x$, равном $4$, значения левой и правой частей уравнения равны. Число $4$ называют решением или корнем данного уравнения.

Определение:
Корень уравнения с одной переменной — это число, обращающее данное уравнение в верное равенство.

Решить уравнение — значит найти множество всех его корней.

Линейное уравнение

Определение:
Каждое алгебраическое уравнение с одним неизвестным, степень которого равна единице называется линейным уравнением.

В общем виде линейное уравнение имеет вид:

$$kx+b=0$$

Где $k$ и $b$ - произвольные числа.

Примеры линейных уравнений

Приведём несколько примеров линейных уравнений:

1. Уравнение $x+5=8$ имеет корень $3$. Этот корень единственный, так как при $x<3$ левая часть уравнения меньше $8$, а при $x>3$ больше $8$.

2. Уравнение $(x+2)(x-1)(x-7)=0$ имеет три корня: $-2$, $1$ и $7$, так как каждое из этих чисел обращает уравнение в верное равенство, а при всех других значениях $x$ ни один из множителей (а значит, и их произведение) не равен нулю.

3. Уравнение $x+3=x-1$ совсем не имеет корней, так как при любых $x$ значение выражения, стоящего в левой части уравнения, на $4$ больше соответственного значения выражения, стоящего в правой части. Множество корней этого уравнения пустое.

4. Уравнение $x=|x|$ имеет бесконечное множество корней. Любое положительное число или нуль является его корнем.

5. Уравнение $5(x+8)=40+5x$ также имеет бесконечное множество корней, причем любое значение $x$ является его корнем, так как выражения $5(x+8)$ и $40+5x$ тождественно равны. О таком уравнении говорят, что оно удовлетворяется тождественно.

Заметим, что каждое из данных равенств имеет общую форму:

$$kx+b=0 \Leftrightarrow kx=-b$$

они внешне похожи друг на друга, где $x$ - переменная (неизвестное), $k$ и $b$ — произвольные числа.

Следующие уравнения не будут являться линейными, так как они не имеют вышеописанный вид.

$x^{2}-1=0$

$(x-3)(x+5)=0$

$\left | x \right |=2$

Свойства линейных уравнений

Линейные уравнения обладают рядом специфических свойств, рассмотрим их:

1. Любое слагаемое можно переносить в противоположную сторону равенства, но при этом слагаемое меняет знак. Покажем на примере равенства:

   $$x+2=0 \Rightarrow x=-2$$

   Смена знака связана с тем, что мы вправе прибавлять к обоим частям уравнения одно и то же число (смысл уравнения от этого не меняется).

   $$x+2+(-2)=0+(-2)$$

   $$x+0=0-2 \Rightarrow x=-2$$

2. Каждую часть равенства можно умножать, делить на одно и то же число отличное от нуля (смысл уравнения от этого не меняется). Покажем на примере того же равенства, домножив обе части на число четыре:

$$x+2=0 \Rightarrow (x+2)\cdot 4=0\cdot 4$$

$$4x+8=0$$

Равносильные уравнения

Рассмотрим три уравнения:

1. $(x+2)(x-3)=0$

2. $x(x+2)(x-3)=0$ Уравнение (1) имеет два корня: $-2$ и $3$, а уравнение (2) — три корня: $0$, $-2$ и $3$. Каждый корень уравнения (1) является корнем уравнения (2), но не каждый корень уравнения (2) является корнем уравнения (1).

   При $x=0$ второе уравнение обращается в верное равенство, а первое — нет.

3. Уравнение $x(x+2)=3(x+2)$ имеет два корня: $-2$ и $3$.

Каждое решение уравнения (3) является решением уравнения (1) и каждое решение уравнения (1) является решением уравнения (3). Такие уравнения называются равносильными.

Важно!
У равносильных уравнений множества их решений совпадают.

Понятие равносильности уравнений распространяется и на уравнения с несколькими переменными. Например, два уравнения с переменными $x$ и $y$ считаются равносильными, если каждое решение первого уравнения является решением второго и каждое решение второго уравнения служит решением первого.

Пусть первое уравнение $P(x)=0$, а второе $Q(x)=0$ и если они равносильны, то имеет место знак равносильности:

$$P(x)=0\Leftrightarrow Q(x)=0$$

В дальнейшем мы будем часто использовать такую символику.

Свойства равенств

Можно ли, не решая уравнений $2x-5=9$ и $2x=14$, утверждать, что они равносильны? Ответить на этот вопрос помогут нам хорошо известные свойства равенств. Перечислим их:

1. Рефлексивность. Любое число равно самому себе: $a=a$.

2. Симметричность. Если одно число равно другому, то это второе число равно первому: если $a=b$, то $b=a$.

3. Транзитивность. Если первое число равно второму, а второе равно третьему, то первое число равно третьему: если $a=b$ и $b=c$, то $a=c$. Свойствами, аналогичными указанным свойствам равенств, обладают многие соотношения. Например, параллельность (в множестве прямых плоскости) обладает симметричностью и транзитивностью.

   Действительно, если $a||b$, то $b||a$; если $a||b$ и $b||c$, то $a||c$. Равносильность уравнений обладает всеми тремя свойствами. В самом деле, каждое уравнение равносильно самому себе; если одно уравнение равносильно другому, то второе равносильно первому; если одно уравнение равносильно второму, а второе — третьему, то первое уравнение равносильно третьему.

   Приведем еще два свойства равенств, которые нам понадобятся дальше:

4. Если к обеим частям верного равенства прибавить одно и тоже число, то получится верное равенство: если $a=b$, то

   $$a+c=b+c$$

5. Если обе части верного равенства умножить на одно и то же число, то получится верное равенство: если $a=b$, то

   $$a\cdot c=b\cdot c$$

Примеры решения уравнений

Свойства равенств используются при решении уравнений. Покажем это на примере.

Задача 1.
Пусть нужно решить уравнение: $6x-42=0$

Рассмотренный пример показывает, что перенос членов уравнения из одной его части в другую с противоположным знаком и умножение (или деление) обеих частей уравнения на неравное нулю число приводят к уравнению, равносильному данному.

Задача 2.
Решите уравнение: $\frac{3}{4}x-\frac{5x}{16}=2$

Общий вид решений линейного уравнения

Решим уравнение: $kx+b=0$

Очевидно, решение зависит от наших параметров $k$ и $b$, поэтому рассмотрим несколько сюжетов, которые встречаются при решении линейных уравнений.

Шаг 1.

Коэффициент при неизвестной $k$ будет равняться нулю, а свободный член $b$ отличным от нуля.

$$k=0, b\neq 0 \Rightarrow 0\cdot x=-b$$

Заметим, в этом случае не найдется такого числа $x$, что при подстановке его в уравнение — получится верное равенство. Т.к при умножении на 0 мы не получим число отличное от нуля, стало быть — решений нет. Обычно это записывается так: $$x\in \oslash$$ что переводится как: $x$ принадлежит пустому множеству.

Шаг 2.

Коэффициент при неизвестной и свободный член отличны от нуля:

$$k\neq 0, b\neq 0 \Rightarrow kx=-b \Rightarrow x=\frac{-b}{k}$$

Т.е. $x$ принимает действительное и единственное решение в виде отношения двух чисел: $-b$ и $k$

Шаг 3.

Числа $k$ и $b$ принимают значения равное нулю, т.е:

$$k=0, b=0 \Rightarrow kx=-b \Rightarrow 0\cdot x=0$$

Очевидно, что какой бы $x$ мы не взяли — равенство будет верным, т.к, при умножении на 0 получим 0. Тогда говорят, что $x$ - любое число, либо $x$ принадлежит всем действительным числам. Запись имеет такой вид:

$$x\in \mathbb{R}$$

В данном случае решение можно записать несколькими способами, например с помощью двойного неравенства:

$$-\infty <x< \infty$$

Такая запись означает, что $x$ лежит в промежутке от минус бесконечности до плюс бесконечности. (Бесконечность это не число, поэтому неравенство строгое). Еще можно написать ответ в виде интервала:

$$x\in(-\infty;\infty)$$

Знак “$\in$” можно заменить словом “принадлежит”, этот символ называется квантором принадлежности. Тогда говорят, что $x$ принадлежит любому числу из данного интервала.

При решении уравнений, обычно мы задаемся вопросом: чему равно значение переменной? или, какое число при подстановке вместо неизвестной делает равенство верным?

И решением линейного уравнения называется — корень уравнения, а значит наша задача привести уравнение к виду:

$$x=…$$

Задачи для самостоятельного решения

← Следующая тема